Der grafikfähige Taschenrechner CFX - 9850

Einführung 6: Integralrechnung mit dem GTR

6.1 Erläuterungen
     
6.2 Integralrechnung im Graph-Menü
     
5.3 Integralrechnung im Run-Menü

5.4 Anwendungsübung in der Physik  

5.5 Übung

6.1 Erläuterungen:
Der Taschenrechner wird in der Integralrechnung hauptsächlich zum Berechnen von Flächen eingesetzt. Deswegen soll hier auch erst einmal das bestimmte Integral im Mittelpunkt stehen. Das bestimmte Integral, auch RIEMANNsches Integral genannt, stellt den Inhalt des Flächenstückes zwischen der Kurve einer Funktion und der x-Achse in einem bestimmten Intervall dar. Die Intervallgrenzen sind gleichzeitig auch die Grenzen des bestimmten Integrals. Die Flächenberechnung basiert dabei auf folgendem Prinzip: Das Flächenstück wird parallel zur y-Achse in Streifen zerlegt. Deren Breite lässt man dann mittels Grenzwertberechnung gegen Null gehen. Jetzt kann man auch als durchschnittliche Streifenhöhe den Funktionswert des rechten bzw. des linken x-Wertes des Streifens annehmen. Mit Breite*Höhe ist der Flächeninhalt berechenbar, die Gesamtfläche ist die Summe der einzelnen Streifenflächen. Dies führt nach Umformen/Vereinfachen auf die Berechnung des bestimmten Integrals: man ermittelt den Wert der Stammfunktion an der oberen Grenze und subtrahiert davon deren Wert an der unteren Grenze. Die Integrationsregeln zum Ermitteln der Stammfunktion können an entsprechender Stelle (z.Bsp. Mathe-Buch) nachgelesen werden. Für die Flächenberechnung mit dem GTR sind sie nicht so von Bedeutung.

Als Beispielfunktion für die folgenden Darstellungen dient die Funktion f(x)= -2x²+10x -8. Sie hat zwei Nullstellen, nämlich bei x=1 und bei x=4.

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6.2 Integralrechnung im Graph-Menü:

Die Funktion wird in einem geeignetem Fenster angezeigt. (Wer noch nicht über die grundlegende Bedienung des GTR bescheid weiss, z.Bsp. wie man sich eine Funktion im Graph-Menü in einem geeigneten Fenster anzeigen lässt, der kann das hier erfahren. )

Für die Beispielfunktion wurde mit Shift (Shift),F3 (F3) folgendes Fenster gewählt:

Einstellung
Zu sehen ist folgendes Bild:

Graph

Mit F5 (F5), F6 (F6) und F3 (F3) kann man sich ein Integral errechnen lassen. Mit der Cursor-Taste Replay müssen nun die Intervallgrenzen angegeben und dann jeweils mit Exe (Exe) bestätigt werden. ( Sind mehrere Funktionen gezeichnet, muss man vorher die gewünschte Funktion auswählen. Wie man Funktionen auswählt ist in Einführung1 am Bsp. der Schnittpunktbestimmung analog beschrieben.) Hier soll die Fläche zwischen den Nullstellen bestimmt werden. Also den Cursor bis zu x=1 bewegen und mit Exe (Exe) bestätigen. Man bekommt folgendes Bild:

Untergrenze

Jetzt den Cursor bis x=4 bewegen und wieder bestätigen. Die Fläche unter der Kurve wird jetzt ausgemalt und der Flächeninhalt bestimmt (=9FE):

Integral
 
Will man sich aber den Flächeninhalt zwischen x=1 und x=2.5 anzeigen lassen, so wird man merken, dass mit dem Cursor der Wert 2.5 nicht exakt erreicht wird. Hier hilft ein kleiner Trick. Mit Shift (Shift) F3 (F3) stellt man das Fenster so um, dass nur der entsprechende Intervall angezeigt wird.

Einstellung

Wenn man die Fläche jetzt bestimmen will, so steht der Cursor gleich auf der Untergrenze und auch die Obergrenze lässt sich exakt einstellen:

Obergrenze
 
Und die Fläche lässt sich ermitteln.

Flächeninhalt

Wichtig!!
Es gibt einige Besonderheiten zu beachten. Will man zum Beispiel die eingeschlossenen Flächen zwischen x=0 und x=4 ermitteln, so bekommt man vom Taschenrechner folgendes Ergebnis (Fenstereinstellung wie zuerst):

Integral

Das sieht zwar gut aus, ist aber nicht die Summe der beiden Flächeninhalte, denn oben war ja schon die Fläche zwischen x=1 und x=4 9FE groß! Den Grund dafür sieht man, wenn die Fläche zwischen x=0 und x=1 getrennt berechnet:

Integral

Rein rechnerisch kommt ein negativer Wert heraus, d.h. das Gesamtintegral wird dadurch weniger. Wenn sich also in dem zu integrierendem Bereich eine Nullstelle befindet, bei der die x-Achse tatsächlich geschnitten wird, so muss man bei der Nullstelle die Flächen trennen, die Teilflächen einzeln ermitteln und dann deren BETRÄGE zusammenzählen. In unserem Beispiel beträgt der Flächeninhalt der Flächen zwischen x=0 und x=4: 3,6667 FE+9 FE = 12,6667 FE (oder besser 11/3 FE +27/3 FE =32/3 FE). Es besteht auch die Möglichkeit, durch das Tauschen von Ober-und Untergrenze das Vorzeichen der Fläche zu ändern. Doch das geht nur im RUN-Menü. Näheres dazu unter Punkt 6.3. 
Das Problem kommt in ähnlicher Form auch vor, wenn man die Fläche zwischen zwei Kurven ermitteln will. Dies geht nur, wenn man in dem bestimmten Bereich die Flächen unter den Kurven einzeln berechnet und die Differenz davon bildet. Schneiden sich allerdings die Kurven in dem Bereich, muss man die Flächen wieder beim Schnittpunkt trennen, einzeln ermitteln und die Beträge der Differenzen zusammenzählen. D.h. um die Fläche zwischen zwei Kurven zu ermitteln, muss man bei einem vorhandenen Schnittpunkt vier Einzelflächen berechnen!
Ansonsten ist es immer günstig, wenn man sich die gesuchte Fläche durch Skizzen oder eine graphische Darstellung anschaulich macht, damit man evtl. Teilflächen gut erkennen kann. (siehe auch Übung b.) )
6.3 Integralrechnung im Run-Menü

Im Run-Menü können die Integrale einfach und schnell berechnet werden. Es ist aber von Nachteil, dass man es nicht sieht wenn sich z.Bsp. eine Nullstelle im Intervall befindet. Dies muss man schon ausschliessen können.
Befindet man sich im Run-Menü, so kann man mitOption (Option), F4 (F4) und F4 (F4) das Integral berechnen. Dazu gibt man jetzt die Funktion ein, dann Komma (Komma) und die Intervalluntergrenze eingeben, Komma und die Intervallobergrenze. Für unsere Beispielfunktion sieht das in den Grenzen von x= 1bis 4 wie folgt aus:

Run
 
Hat man die Funktion vorher schon einmal im Graph-Menü eingegeben, so muß man sie hier im Run-Menü nicht nochmal eingeben. Mit Vars (Vars) -F4 (F4)-F1 (F1) übernimmt man Funktionen aus dem Graph-Menü. Nach dem Y muß man die Zeile angeben, unter der die Funktion gespeichert ist. Ist sie z.Bsp unter Y1 gespeichert (also als erste in dieser Form), so braucht man nur die Eins drücken und die Angabe der x-Stelle ist wie oben. Ist die Funktion also im Graph-Menü so gespeichert :

Einstellung Run
 
so sieht das im Run-Menü dann so aus:

Run

Durch das Tauschen von Ober-bzw. Untergrenze kann das Vorzeichen der Fläche geändert werden.  Das bietet sich an wenn man schon vorher weiss, das die Flächen negativ sind, weil sie im 3. bzw. 4. Quadrant liegt. Hier ein Beispiel  zur Verdeutlichung:


Tausch

5.4 Anwendungsübung in der Physik

Eine einfache physikalische Anwendung ist das Berechnen des Weges aus einem Gechwindigkeits-Zeit-Diagramm. Denn da entspricht ja die Fläche unter der Kurve dem zurückgelegtem Weg. Folgende Aufgabe soll mit dem GTR gelöst werden:
Ein Fahrzeug beschleunigt zu Beginn der Betrachtung gleichmässig innerhalb von 5 sec von 10m/s auf 13m/s, fährt 10 sec mit dieser Geschwindigkeit weiter und bremst dann innerhalb von 7 sec gleichmäßig bis zum Stillstand ab. Gesucht ist der zurückgelegte Gesamtweg während dieser Zeit.
Zuerst ermittelt man die Gleichungen für die Beschleunigungs- bzw. Bremsphasen. Da es sich um gleichmäßig beschleunigte Bewegungen handelt, werden sie im Koordinadensystem (y-Achse= Geschwindigkeit, x-Achse= Zeit) als Geraden mit der allgemeinen Form y= ax+n dargestellt. Der mittlere Abschnitt mit konstanter Geschwindigkeit ergibt eine Parallele zur x-Achse. Nachfolgend die drei Phasen im einzelnen:

a.)gleichmäßige Beschleunigung von 10m/s auf 13m/s in 5s
Im Statistik-Menü (STAT) kann man die Geradengleichung ermitteln. Dazu in der Liste1(=x) die Zeiten untereinander schreiben und in der Liste2 (=y) die entsprechenden Geschwindigkeiten zuordnen. Jede einzelne Eingabe muss mit Exe (Exe) bestätigt werden, die Bewegung zwischen den Listen erfolgt mit der Replay (Cursor-Taste). (Wichtig!! Eventuelle ältere Listeneinträge müssen alle gelöscht werden. Dazu Liste auswählen, F6 (F6) undF4 (F4) drücken (Del-A) und mit F1 (F1) bestätigen.) Nach der Eingabe der Daten erhält man folgendes Bild:
 
Stat
Nun F1 (F1) drücken, dann nochmal F1 (F1) und jetzt den Funktionstyp wählen, der durch die Punkte gelegt werden soll.
STAT
 Da wir eine Gerade brauchen, wählen wir "x", d.h.F1 (F1). Folgende Funktion wird dann angezeigt:

Funktion
Mit "COPY", alsoF5 (F5) wird die Funktion ins GRAPH-Menü kopiert. Man muss jetzt noch mit der Replay (Cursor)-Taste den Platz auswählen (markieren), wo die Funktion gespeichert werden soll. Hier soll es der erste Platz, also Y1= sein. Die Auswahl wird mit Exe (Exe) bestätigt. Die Funktion ist jetzt gespeichert. (Falls in dieser Zeile schon eine Funktion gespeichert war, so wird diese überschrieben, d.h. gelöscht.)
 
Speicher

b.) gleichförmige Bewegung mit 13m/s, 10s lang

Mit s= V*t (Weg = Geschwindigkeit* Zeit) kann man hier zwar den zurückgelegten Weg im Kopf ausrechnen (13m/s*10s=130m), aber der Übersicht wegen soll auch diese Phase mit gespeichert werden. Am besten im GRAPH-Menü, jetzt unter Y2= . y ist natürlich 13.

c.) gleichmäßige Verzögerung von 13m/s auf 0 in 7s
Hier braucht man wieder die Geradengleichung . Die wird analog zu a.) im STAT-Menü ermittelt. Um später die Gleichungen besser nutzen zu können, ist es günstig, die Zeit während der einzelnen Phasen im Ganzen zu sehen. Also Phase 1 von 0-5s, Phase 2 von 5s-15s und Phase 3 von 15s-22s. Die Punkte währen also folgende(im STAT- Menü):

STAT
Die Funktion wird unter Y3= gespeichert:

Speicher


Im RUN-Menü können jetzt die Integrale ermittelt und addiert  werden. (Die Klammern um die Integrale sind zwar nicht notwendig, aber schaffen etwas Übersicht.):

Run

Der zurückgelegte Gesamtweg beträgt also 233 m.
Wenn man jetzt hinter den gespeicherten Funktionen den anzuzeigenden Bereich auswählt, kann man gut das Geschwindigkeits -Zeit Diagramm als Einheit sehen. Den Anzeigebereich bestimmt man, indem man hinter die Funktion, durch Komma abgetrennt, folgenden Ausdruck schreibt: [Anfangswert,Endwert].  D.h. hinter die erste Funktion muss ,[0,5], hinter die zweite Funktion ,[5,15] und hinter die dritte ,[15,22].
Anzeige
Das Diagramm sieht dann wie folgt aus:

Diagramm

Damit kann man bei entsprechender Aufgabenstellung seine eigenen Skizzen vergleichen. Das Ermitteln des Integrals im GRAPH-Menü über die gesamte Fläche ist aber nicht möglich.


5.5 Übung

a.)Ermittle den Weg, den ein Fahrzeug bei der gleichmäßigen Beschleunigung aus dem Stand auf 30km/h  in 8sec zurücklegt.
b.)Welche Fläche schliessen die beiden Funktionen f (x) =- x²+5x und g (x) =x²-3x ein?
Die Lösung findet man hier .