Der grafikfähige Taschenrechner CFX - 9850
Einführung 6: Integralrechnung mit
dem GTR
6.1 Erläuterungen
6.2 Integralrechnung im Graph-Menü
5.3 Integralrechnung im Run-Menü
5.4 Anwendungsübung
in der Physik
5.5 Übung
6.1 Erläuterungen:
Der Taschenrechner wird in der Integralrechnung hauptsächlich
zum Berechnen von Flächen eingesetzt. Deswegen soll hier auch
erst einmal das bestimmte Integral im Mittelpunkt stehen. Das bestimmte
Integral, auch RIEMANNsches Integral genannt, stellt den Inhalt
des Flächenstückes zwischen der Kurve einer Funktion und
der x-Achse in einem bestimmten Intervall dar. Die Intervallgrenzen
sind gleichzeitig auch die Grenzen des bestimmten Integrals. Die Flächenberechnung
basiert dabei auf folgendem Prinzip: Das Flächenstück wird
parallel zur y-Achse in Streifen zerlegt. Deren Breite lässt
man dann mittels Grenzwertberechnung gegen Null gehen. Jetzt kann
man auch als durchschnittliche Streifenhöhe den Funktionswert
des rechten bzw. des linken x-Wertes des Streifens annehmen. Mit
Breite*Höhe ist der Flächeninhalt berechenbar, die Gesamtfläche
ist die Summe der einzelnen Streifenflächen. Dies führt
nach Umformen/Vereinfachen auf die Berechnung des bestimmten Integrals:
man ermittelt den Wert der Stammfunktion an der oberen Grenze und subtrahiert
davon deren Wert an der unteren Grenze. Die Integrationsregeln zum Ermitteln
der Stammfunktion können an entsprechender Stelle (z.Bsp. Mathe-Buch)
nachgelesen werden. Für die Flächenberechnung mit dem GTR sind
sie nicht so von Bedeutung.
Als Beispielfunktion für die
folgenden Darstellungen dient die Funktion f(x)= -2x²+10x -8.
Sie hat zwei Nullstellen, nämlich bei x=1 und bei x=4.
6.2 Integralrechnung im Graph-Menü:
Die Funktion wird in einem geeignetem Fenster
angezeigt. (Wer noch nicht über die grundlegende Bedienung des GTR
bescheid weiss, z.Bsp. wie man sich eine Funktion im Graph-Menü in einem
geeigneten Fenster anzeigen lässt, der kann das
hier
erfahren. )
Für die Beispielfunktion wurde mit
(Shift),
(F3) folgendes Fenster gewählt:
Zu sehen ist folgendes Bild:
Mit
(F5),
(F6) und
(F3) kann man sich ein Integral errechnen lassen. Mit
der Cursor-Taste
müssen nun die Intervallgrenzen angegeben und dann
jeweils mit
(Exe) bestätigt werden. ( Sind mehrere Funktionen
gezeichnet, muss man vorher die gewünschte Funktion auswählen.
Wie man Funktionen auswählt ist in
Einführung1
am Bsp. der Schnittpunktbestimmung analog beschrieben.) Hier soll
die Fläche zwischen den Nullstellen bestimmt werden. Also den
Cursor bis zu x=1 bewegen und mit
(Exe) bestätigen. Man bekommt folgendes Bild:
Jetzt den Cursor bis x=4 bewegen
und wieder bestätigen. Die Fläche unter der Kurve wird
jetzt ausgemalt und der Flächeninhalt bestimmt (=9FE):
Will man sich aber den Flächeninhalt
zwischen x=1 und x=2.5 anzeigen lassen, so wird man merken, dass
mit dem Cursor der Wert 2.5 nicht exakt erreicht wird. Hier hilft ein
kleiner Trick. Mit
(Shift)
(F3) stellt man das Fenster so um, dass nur der entsprechende
Intervall angezeigt wird.
Wenn man die Fläche jetzt
bestimmen will, so steht der Cursor gleich auf der Untergrenze und
auch die Obergrenze lässt sich exakt einstellen:
Und die Fläche lässt
sich ermitteln.
Wichtig!!
Es gibt einige Besonderheiten zu beachten. Will man zum
Beispiel die eingeschlossenen Flächen zwischen x=0 und x=4 ermitteln,
so bekommt man vom Taschenrechner folgendes Ergebnis (Fenstereinstellung
wie zuerst):
Das sieht zwar gut aus, ist aber
nicht die Summe der beiden Flächeninhalte, denn oben war ja
schon die Fläche zwischen x=1 und x=4 9FE groß! Den Grund
dafür sieht man, wenn die Fläche zwischen x=0 und x=1 getrennt
berechnet:
Rein rechnerisch kommt ein negativer
Wert heraus, d.h. das Gesamtintegral wird dadurch weniger. Wenn
sich also in dem zu integrierendem Bereich eine Nullstelle befindet,
bei der die x-Achse tatsächlich geschnitten wird, so muss man
bei der Nullstelle die Flächen trennen, die Teilflächen
einzeln ermitteln und dann deren BETRÄGE zusammenzählen.
In unserem Beispiel beträgt der Flächeninhalt der Flächen
zwischen x=0 und x=4: 3,6667 FE+9 FE = 12,6667 FE (oder besser 11/3 FE
+27/3 FE =32/3 FE). Es besteht auch die Möglichkeit, durch das Tauschen
von Ober-und Untergrenze das Vorzeichen der Fläche zu ändern.
Doch das geht nur im RUN-Menü. Näheres dazu unter Punkt 6.3.
Das Problem kommt in ähnlicher
Form auch vor, wenn man die Fläche zwischen zwei Kurven ermitteln
will. Dies geht nur, wenn man in dem bestimmten Bereich die Flächen
unter den Kurven einzeln berechnet und die Differenz davon bildet.
Schneiden sich allerdings die Kurven in dem Bereich, muss man die Flächen
wieder beim Schnittpunkt trennen, einzeln ermitteln und die Beträge
der Differenzen zusammenzählen. D.h. um die Fläche zwischen
zwei Kurven zu ermitteln, muss man bei einem vorhandenen Schnittpunkt
vier Einzelflächen berechnen!
Ansonsten ist es immer günstig, wenn man sich die gesuchte Fläche
durch Skizzen oder eine graphische Darstellung anschaulich macht, damit
man evtl. Teilflächen gut erkennen kann. (siehe auch
Übung b.)
)
6.3 Integralrechnung im Run-Menü
Im Run-Menü können die Integrale einfach und schnell
berechnet werden. Es ist aber von Nachteil, dass man es nicht sieht
wenn sich z.Bsp. eine Nullstelle im Intervall befindet. Dies muss
man schon ausschliessen können.
Befindet man sich im Run-Menü, so kann man mit
(Option),
(F4) und
(F4) das Integral berechnen. Dazu gibt man jetzt die Funktion
ein, dann
(Komma) und die Intervalluntergrenze eingeben,
und die Intervallobergrenze. Für unsere Beispielfunktion
sieht das in den Grenzen von x= 1bis 4 wie folgt aus:
Nun
(F1) drücken, dann nochmal
(F1) und jetzt den Funktionstyp wählen, der durch die
Punkte gelegt werden soll.
Da wir eine Gerade brauchen,
wählen wir "x", d.h.
(F1). Folgende Funktion wird dann angezeigt:
Mit "COPY", also
(F5) wird die Funktion ins GRAPH-Menü kopiert. Man muss
jetzt noch mit der
(Cursor)-Taste den Platz auswählen (markieren), wo die
Funktion gespeichert werden soll. Hier soll es der erste Platz, also
Y1= sein. Die Auswahl wird mit
(Exe) bestätigt. Die Funktion ist jetzt gespeichert.
(Falls in dieser Zeile schon eine Funktion gespeichert war, so wird
diese überschrieben, d.h. gelöscht.)
b.) gleichförmige Bewegung mit 13m/s, 10s lang
Mit s= V*t (Weg = Geschwindigkeit* Zeit) kann man hier zwar
den zurückgelegten Weg im Kopf ausrechnen (13m/s*10s=130m), aber
der Übersicht wegen soll auch diese Phase mit gespeichert werden.
Am besten im GRAPH-Menü, jetzt unter Y2= . y ist natürlich
13.
c.) gleichmäßige Verzögerung von 13m/s
auf 0 in 7s
Hier braucht man wieder die Geradengleichung . Die wird analog
zu a.) im STAT-Menü ermittelt. Um später die Gleichungen besser
nutzen zu können, ist es günstig, die Zeit während der
einzelnen Phasen im Ganzen zu sehen. Also Phase 1 von 0-5s, Phase 2 von
5s-15s und Phase 3 von 15s-22s. Die Punkte währen also folgende(im
STAT- Menü):
Die Funktion wird unter Y3= gespeichert:
Im RUN-Menü können jetzt die Integrale ermittelt
und addiert werden. (Die Klammern um die Integrale sind zwar nicht
notwendig, aber schaffen etwas Übersicht.):
Der zurückgelegte Gesamtweg
beträgt also 233 m.
Wenn man jetzt hinter den gespeicherten Funktionen den anzuzeigenden
Bereich auswählt, kann man gut das Geschwindigkeits -Zeit Diagramm
als Einheit sehen. Den Anzeigebereich bestimmt man, indem man hinter
die Funktion, durch Komma abgetrennt, folgenden Ausdruck schreibt:
[Anfangswert,Endwert]. D.h. hinter die erste Funktion muss ,[0,5],
hinter die zweite Funktion ,[5,15] und hinter die dritte ,[15,22].
Das Diagramm sieht dann wie folgt
aus:
Damit kann man bei entsprechender
Aufgabenstellung seine eigenen Skizzen vergleichen. Das Ermitteln
des Integrals im GRAPH-Menü über die gesamte Fläche
ist aber nicht möglich.
a.)Ermittle den Weg, den ein Fahrzeug
bei der gleichmäßigen Beschleunigung aus dem Stand auf 30km/h
in 8sec zurücklegt.
b.)Welche Fläche schliessen
die beiden Funktionen f (x) =-
x²+5x und g (x) =x²-3x
ein?
Die Lösung findet man
hier
.