Modul 33 Aufgaben Module

Algames with numbers

Teil 1 Matrizenprodukte

1.1

$$\prod_{i=1}^{n}$$$$\left(\vphantom{ \begin{array}{ll} a_i&a_{i+1}\\ a_{i+1}&a_{i+2} \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ll} a_i&a_{i+1}\\ a_{i+1}&a_{i+2} \end{array}$$ $$\left.\vphantom{ \begin{array}{ll} a_i&a_{i+1}\\ a_{i+1}&a_{i+2} \end{array}}\right)$$ = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{ll} m_{11}(n)&m_{12}(n)\\ m_{21}(n)&m_{22}(n) \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ll} m_{11}(n)&m_{12}(n)\\ m_{21}(n)&m_{22}(n) \end{array}$$ $$\left.\vphantom{ \begin{array}{ll} m_{11}(n)&m_{12}(n)\\ m_{21}(n)&m_{22}(n) \end{array}}\right)$$;  ($$\forall$$i) ai $$\in$$

(1)

$${\frac{m_{21}(n)}{m_{11}(n)+m_{21}(n)}}$$		$${\frac{1\hfill}{1+\displaystyle\frac{1\hfill}{1+\displaystyle\fra... ...l}{1+\displaystyle\frac{1\hfill}{1+\displaystyle\frac{1\hfill}{a_n}}}}}}}}}}}}}$$	(2)
	=	$${\frac{\;1\;\vert}{\vert\;1\;}}$$ + $${\frac{\;1\;\vert}{\vert\;1\;}}$$ + $${\frac{\;1\;\vert}{\vert\,a_1\,}}$$ + $${\frac{\;1\;\vert}{\vert\;1\;}}$$ + $${\frac{\;1\;\vert}{\vert\;1\;}}$$ + $${\frac{\;1\;\vert}{\vert\,a_2\,}}$$ + $${\frac{\;1\;\vert}{\vert\;1\;}}$$ + $${\frac{\;1\;\vert}{\vert\;1\;}}$$ + $${\frac{\;1\;\vert}{\vert\,a_3\,}}$$ +...
		+ $${\frac{\;1\;\vert}{\vert\;1\;}}$$ + $${\frac{\;1\;\vert}{\vert\;1\;}}$$ + $${\frac{\;1\;\vert}{\vert\,a_n\,}}$$	(3)
		(Kurznotation von Gl. (2))

Darstellung von z $\in$ $\mathbb{Q}$ (0, 1) bzw. näherungsweise Darstellung von z $\in$ $\mathbb{R}$ (0, 1) als regelmäßiger Kettenbruch Gl. (2) respektive zugeordnetes Matrizenprodukt Gl. (1): (A1).

(A1)

Beispiele für die Darstellung von z $\in$ $\mathbb{R}$ (0, 1) als unendlicher regelmäßiger Kettenbruch Gl. (2) respektive zugeordnetes unendliches Matrizenprodukt Gl. (1) (n$\to$$\infty$):

z	ai ;  i = 1, 2, 3,...
$${\frac{1}{e-1}}$$	2 i
$${\frac{1}{\sqrt[k]{e}+1}}$$	(2 i - 1)k - 1 ;  k $\in$ $\mathbb{N}$
$${\textstyle\frac{1}{2}}$$$$\left(\vphantom{\sqrt{5}-1}\right.$$$$\sqrt{5}$$ - 1$$\left.\vphantom{\sqrt{5}-1}\right)$$	1
$${\textstyle\frac{1}{2}}$$$$\left(\vphantom{\sqrt{10}-2}\right.$$$$\sqrt{10}$$ - 2$$\left.\vphantom{\sqrt{10}-2}\right)$$	2
$${\textstyle\frac{1}{2}}$$$$\left(\vphantom{\sqrt{(k+1)^2+1}-k}\right.$$$$\sqrt{(k+1)^2+1}$$ - k$$\left.\vphantom{\sqrt{(k+1)^2+1}-k}\right)$$	k $\in$ $\mathbb{N}$
$${\textstyle\frac{1}{3}}$$$$\sqrt{3}$$	2 rest (i, 2)
$\sqrt{\displaystyle\frac{k+1}{4\,(k+2)}}$	k rest (i, 2) ;  k $\in$ $\mathbb{N}$
$${\textstyle\frac{1}{2}}$$$$\left(\vphantom{\sqrt{(a_2+1)^2+\frac{a_2+1}{a_1+1}}-a_2}\right.$$$$\sqrt{(a_2+1)^2+\frac{a_2+1}{a_1+1}}$$ - a2$$\left.\vphantom{\sqrt{(a_2+1)^2+\frac{a_2+1}{a_1+1}}-a_2}\right)$$	$\left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} a_1&&\mbox{ungerade}\\ &\mbox{falls } i&\\ a_2&&\mbox{gerade} \end{array}}\right.$$\begin{array}{lll} a_1&&\mbox{ungerade}\\ &\mbox{falls } i&\\ a_2&&\mbox{gerade} \end{array}$ $\left.\vphantom{ \begin{array}{lll} a_1&&\mbox{ungerade}\\ &\mbox{falls } i&\\ a_2&&\mbox{gerade} \end{array}}\right.$

Berechnen Sie mittels (A1) die Darstellungen der in nachstehender Tabelle zusammengestellten benachbarten z $\in$ $\mathbb{R}$(0, 1)(vgl. auch [1,2,3,4]) als unendlichen Kettenbruch Gl. (2) bzw. zugeordnetes unendliches Matrizenprodukt Gl. (1).

z	Zahlenwert
$${\frac{\pi}{2}}$$ - 1	0.570796326...
$${\frac{2^{\sqrt{2}}}{2+2^{\sqrt{2}}}}$$	0.571288702...
1 - $${\frac{2}{\delta}}$$ ;  $$\delta$$ = 4.6692016091... ($\delta$-Feigenbaumkonstante)	0.571661245...
2$\sqrt{\tau}$ - 1 ;  $\tau$ = $${\textstyle\frac{1}{2}}$$$$\left(\vphantom{\sqrt{5}-1}\right.$$$$\sqrt{5}$$ - 1$$\left.\vphantom{\sqrt{5}-1}\right)$$	0.572302755...
C = $\gamma$ = $\lim\limits_{n\to\infty}^{}$$\left(\vphantom{\sum\limits_{i=1}^n\displaystyle\frac{1}{i}-\mbox{ln}\,n}\right.$$\sum\limits_{i=1}^{n}$$${\frac{1}{i}}$$ - ln n$\left.\vphantom{\sum\limits_{i=1}^n\displaystyle\frac{1}{i}-\mbox{ln}\,n}\right)$ (Eulersche Konstante)	0.577215664...
$${\frac{1}{\sqrt{3}}}$$	0.577350269...
$${\frac{\pi}{2\,e}}$$	0.577863674...
$${\frac{1}{e-1}}$$	0.581976706...
$\vdots$	$\vdots$

Diskutieren Sie die erhaltenen Ergebnisse.

[ 1]	J. Borwein, P. Borwein. A Dictionary of Real Numbers. Pacific Grove, Ca. 1990
[ 2]	S. Finch. Table of Mathematical Constants. http://www.mathsoft.com/asolve/constant/table.html
[ 3]	S. Finch. Favorite Mathematical Constants. http://www.mathsoft.com/asolve/constant/constant.html
[ 4]	S. Plouffe. Plouffe's Inverter. Tables of Constants. http://www.lacim.uqam.ca/pi/table.html

1.2

Es sei

$$\underline{m}$$(n) = $$\left(\vphantom{ \begin{array}{ll} m_{11}(n)&m_{12}(n)\\ m_{21}(n)&m_{22}(n) \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ll} m_{11}(n)&m_{12}(n)\\ m_{21}(n)&m_{22}(n) \end{array}$$ $$\left.\vphantom{ \begin{array}{ll} m_{11}(n)&m_{12}(n)\\ m_{21}(n)&m_{22}(n) \end{array}}\right)$$ = $$\prod_{i=0}^{n}$$$$\left(\vphantom{ \begin{array}{ll} a(i)&b(i)\\ c(i)&d(i) \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{ll} a(i)&b(i)\\ c(i)&d(i) \end{array}$$ $$\left.\vphantom{ \begin{array}{ll} a(i)&b(i)\\ c(i)&d(i) \end{array}}\right)$$.

(4)

Dann werde der Grenzwert des Quotienten der Zeilenmittelwerte

$$\lim_{n\to\infty}^{}$$ $${\frac{m_{21}(n)+m_{22}(n)}{m_{11}(n)+m_{12}(n)}}$$

(5)

mit der Kurznotation

$$\mbox{\raisebox{-2.ex}[2.ex]{\epsfbox{modul33_zeichen.ps} }}\... ...( \begin{array}{ll} a(i)&b(i)\\ c(i)&d(i) \end{array}\right)$$

(6)

bezeichnet.
Mit dieser Symbolik hat man:

$$\mbox{\raisebox{-2.ex}[2.ex]{\epsfbox{modul33_zeichen.ps} }}\... ...n{array}{ll} 2\,i&2\,i+1\\ 2\,i+1&2\,i+2 \end{array}\right)=e$$

(7)

$$\mbox{\raisebox{-2.ex}[2.ex]{\epsfbox{modul33_zeichen.ps} }}\... ...+1)q+p \end{array}\right)=e^{\frac{p}{q}}\,;\;p,q\in\mathbb{N}$$

(8)

$$\mbox{\raisebox{-2.ex}[2.ex]{\epsfbox{modul33_zeichen.ps} }}\... ...i+3)-2\\ (4\,i+1)(4\,i+3)+2&(4\,i+3)^2 \end{array}\right)=e^2$$

(9)

$$\mbox{\raisebox{-2.ex}[2.ex]{\epsfbox{modul33_zeichen.ps} }}\... ...\ 4\,i+3&5\,(2\,i+2)^2-1 \end{array}\right)=\frac{\pi}{4-\pi}$$

(10)

Weitere -Darstellungen mathematischer Konstanten und einstelliger reeller Funktionen finden Sie in [5], Abschn. 4.

[ 5]	E.P. Stoschek. Abenteuer Algorithmus. Dresden 1996

Aufgabe 33.1

Interpretieren Sie die Zahlenwerte

$$\mbox{\raisebox{-2.ex}[2.ex]{\epsfbox{modul33_zeichen.ps} }}\... ...ay}{ll} i&i+1\\ i+1&i+2 \end{array}\right)=2.61265128\ldots$$

(11)

$$\mbox{\raisebox{-2.ex}[2.ex]{\epsfbox{modul33_zeichen.ps} }}\... ...&2\,i+2\\ 2\,i+2&2\,i+3 \end{array}\right)=1.64026267\ldots$$

(12)

$$\mbox{\raisebox{-2.ex}[2.ex]{\epsfbox{modul33_zeichen.ps} }}\... ...&3\,i+1\\ 3\,i+1&3\,i+2 \end{array}\right)=2.77952139\ldots$$

(13)

$$\mbox{\raisebox{-2.ex}[2.ex]{\epsfbox{modul33_zeichen.ps} }}\... ...&4\,i+1\\ 4\,i+1&4\,i+2 \end{array}\right)=2.81909354\ldots$$

(14)

$$\mbox{\raisebox{-2.ex}[2.ex]{\epsfbox{modul33_zeichen.ps} }}\... ...&5\,i+1\\ 5\,i+1&5\,i+2 \end{array}\right)=2.84668913\ldots$$

(15)

Aufgabe 33.2

Untersuchen Sie die Verläufe der Differenzenquotienten

$${\frac{m_{22}(n)-m_{21}(n)}{m_{12}(n)-m_{11}(n)}}$$

(16)

$${\frac{m_{22}(n)-m_{12}(n)}{m_{21}(n)-m_{11}(n)}}$$

(17)

in Abhängigkeit von n für die Beispiele Gl. (7) - (15).
Diskutieren Sie die erhaltenen Ergebnisse.

Teil 2 Summen

2.1 Primzahlreziproke [6,7]

$${\frac{1}{2^{2(k+1)}}}$$	=	$$\sum_{i=k}^{\infty}$$$${\frac{{i\choose k}\,2^{i+1}}{10^{i+1}}}$$	(18)
$${\frac{1}{3^{2(k+1)}}}$$	=	$$\sum_{i=k}^{\infty}$$$${\frac{{i\choose k}}{10^{i+1}}}$$	(19)
$${\frac{1}{5^{2(k+1)}}}$$	=	?	(20)
$${\frac{1}{7^{2(k+1)}}}$$	=	$$\sum_{i=k}^{\infty}$$$${\frac{{i\choose k}\,2^{i+1}}{10^{2(i+1)}}}$$	(21)
$${\frac{1}{11^{2(k+1)}}}$$	=	?	(22)
	$$\vdots$$		(23)
	?		(24)

[ 6]	D. Wells. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. London 1987
[ 7]	K. Girstmair. Periodische Dezimalbrüche - was nicht jeder darüber weiß. Jahrbuch Überblicke Mathematik 1995, 163-179

2.2 Fibonacci number addition tree

$${\frac{1}{10^{2k}-10^k-1}}$$ = $$\sum_{i=1}^{\infty}$$$${\frac{\mbox{fib}\,(i)}{10^{k(i+1)}}}$$ ;  k $$\in$$

(25)

fib (i + 2) = fib (i + 1) + fib (i) ;  i = 1, 2, 3,...

fib (1) = fib (2) = 1

(26)

(vgl. [8,9]).

[ 8]	D. Clark. Solution to Problem 10262. American Mathematical Monthly 102(1995), 467
[ 9]	http://www.astro.virginia.edu/~eww6n/math/FibonacciNumber.html

2.3 Logarithmus

ln $${\textstyle\frac{10}{9}}$$	=	$$\sum_{i=1}^{\infty}$$$${\frac{1}{i}}$$ $${\frac{1}{10^i}}$$	(27)
ln $${\textstyle\frac{11}{9}}$$	=	$$\sum_{i=0}^{\infty}$$$${\frac{2}{2\,i+1}}$$ $${\frac{1}{10^{2i+1}}}$$	(28)
	$$\vdots$$		(29)
	?		(30)

2.4 A quotation

S. Finch wrote in [10]:
,, ... Do there exist polynomials a(n) and b(n) possessing integer coefficients such that

$$\pi$$ = $$\sum_{n=0}^{\infty}$$$${\frac{a(n)}{b(n)}}$$$$\left(\vphantom{\frac{1}{10}}\right.$$$${\textstyle\frac{1}{10}}$$ $$\left.\vphantom{\frac{1}{10}}\right)^{n}_{}$$  ?  ``

(31)

[10]	S. Finch. The Miraculous Bailey-Borwein-Plouffe Pi Algorithm. http://www.mathsoft.com/asolve/plouffe/plouffe.html

Teil 3 Remarkable numbers

3.1   163

• 163	=	$$1+2\ast 3\uparrow 4$$	(32)
  	=	$$\sum_{i=0}^8\,i^2-41$$	(33)
  	=	$$\sum_{i=0}^4{8\choose i}$$	(34)
  	=	$$\frac{1}{2}\left(4^4+{8\choose 4}\right)$$	(35)
  	=	$$\frac{1}{2}\left(4^4+\sum_{i=0}^4{4\choose i}^2\right)$$	(36)

  
  

• Das Eulersche Primzahlpolynom
  

  $$x^2+x+41=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{163}{4}$$

  (37)

  
  
  liefert als Funktionswerte Primzahlen für
  • $x\in\mathbb{N}\,[0,39]$
  • $\approx\frac{1}{3}\;$ aller $\;x\in\mathbb{N}\,[0,10^7]\;$ [11]
  (und damit deutlich mehr als jedes andere quadratische Polynom x²+x+n [11,12]).

  Aufgabe 3.1.1

  Wie ist in dieser Hinsicht das Polynom
  

  x2+x+163

  (38)

  
  

  zu beurteilen?

  Lösungshinweis:
  Der Quotient q(x)=
  $$\frac{\mbox{Anzahl der von dem Polynom }x^2+x+41 \mbox{ im Interv... ... }x^2+x+163 \mbox{ im Intervall }\mathbb{N} [0,x]\mbox{ erzeugten Primzahlen}}$$
  besitzt nachstehenden Verlauf: Bild 1.
  
  Bild 1:Verlauf von q(x). Mittelwert im Intervall $\mathbb{N} [0,10^6]$ ist 5.294582412...
  Interpretieren Sie diesen Sachverhalt.

• Zusammenhang mit e und $\pi$ (Glättung zu ,,Fastganzzahligkeit``)

  $$\hspace*{0.2cm}(\pi -e)\cdot 163=68.999664496311924\ldots$$	(39)
  $$\hspace*{0.2cm}\left(e^{\pi}\right)^{\sqrt{163}}=262537412640768743.999999999999250\ldots\quad\quad\mbox{[11,12,13,14,15]}$$    [11,12,13,14,15,17]	(40)
  e${\frac{\pi}{3}}$$\sqrt{163}$ = 640320.0000000006049...    (vgl. [17])	(41)
  e2$\pi$$\sqrt{163}$ = 68925893036109279891085639286943768.00000000016373864...   (vgl. [18])	(42)
  $$\hspace*{0.2cm}(\pi-e)\cdot 163-\left(e^{\pi}-\pi\right)=49.000564517122448\ldots$$	(43)
  e${\textstyle\frac{163}{32}}$ = 162.999967268..	(44)
  $${\frac{163}{\ln 163}}$$ = 31.9999987384..	(45)

  
  

  Aufgabe 3.1.2

  • Suchen Sie nach weiteren Beziehungen dieser Art! Benutzen Sie hierzu [15],[16],... .
  • Wie ist in Zusammenhang mit 163 und mit Gl. (45) die Fastganzzahligkeit

    $${\frac{53453}{\ln 53453}}$$ (46)

    $$\left(\vphantom{(2-1)^2+\frac{(5^2-1)^2}{6^2+1}}\right. {\frac{(5^2-1)^2}{6^2+1}} \left.\vphantom{(2-1)^2+\frac{(5^2-1)^2}{6^2+1}}\right) \left(\vphantom{(2+1)^2+\frac{(5^2+1)^2}{6^2-1}}\right. {\frac{(5^2+1)^2}{6^2-1}} \left.\vphantom{(2+1)^2+\frac{(5^2+1)^2}{6^2-1}}\right)^{-1}_{}$$ (47) = 44.999999999939623550123367441...

    zu interpretieren?

• Zusammenhang mit der Feigenbaumkonstante
  
  

  $$\delta=4.669201609102990\ldots\quad\quad\mbox{(vgl. DACModul 24)}$$ (48) (49)

• Zusammenhang mit $\pi$, ein Palindrom

  $${\frac{2^8}{163}}$$	=	1 + $${\frac{1}{\displaystyle 1+\frac{1}{\displaystyle 1+\frac{1}{\displaystyle 3+\frac{1}{23}}}}}$$	(50)
  		1 + $${\frac{1}{\displaystyle 1+\frac{1}{\displaystyle 1+\frac{1}{\displaystyle 3+\frac{1}{32}}}}}$$ = $$\underline{1.570796}$$4601...$$\approx$$ $${\frac{\pi}{2}}$$	(51)

  
  

[11]	K. Devlin. Sternstunden der modernen Mathematik. Berühmte Probleme und neue Lösungen. Basel, Boston, Berlin 1990, Abschn. 3
[12]	E.W. Weisstein. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. Boca Raton, London, New York, Washington 1998, p. 1431
[13]	J. Arndt, C. Haenel. Pi. Algorithmen, Computer, Arithmetik. Berlin, Heidelberg 1998, S. 17
[14]	C. Cohen. A Course in Computational Algebraic Number Theory. Berlin, Heidelberg 1993
[15]	D. Wells. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting numbers. Harmondsworth 1987
[16]	E. Maor. e. The Story of a Number. Princeton 1994, p. 37-39
[17]	Notable Properties of Specific Numbers. http://home.earthlink.net/~mrob/numbers.html
[18]	R.W. Clickery. Exp(Pi*Sqrt(n))Page http://www.ccsf.caltech.edu/~roy/episqrtn.html

(Sto)

Die Module