Modul 41
Aufgaben und Lösungen
Literatur|
Module |
Drei klassische Probleme der antiken Geometrie - Näherungslösungen
in Automatendarstellung - integrierte Steuerungsrechner für die Nanotechnik?
Three geometric problems of antiquity - their approximate solutions in
automata representation - integrated control processors for the nanotechnology?
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 |
41.1 Problemstellungen
Die drei berühmten geometrischen Problemstellungen der antiken griechischen
Mathematik [1-11] fordern allein mit Zirkel und Lineal in endlich vielen
Schritten konstruktiv zu lösen:
-
Die Verdoppelung des Würfels (Delisches Problem) [12,13]
Konstruiert werden soll die Kantenlänge des Würfels, der
das doppelte Volumen eines gegebenen Würfels besitzt, mit anderen
Worten: Ausgehend von einer Strecke der (relativen) Länge 1 ist die
Strecke der Länge 
zu konstruieren.
-
Die Dreiteilung (Trisektion) des Winkels [14,15,16,17]
Ein beliebiger Winkel ist konstruktiv in drei gleich große Teile
zu teilen, d.h., ausgehend von einem Winkel der (relativen) Größe
1 ist ein Winkel der Größe 
zu konstruieren.
-
Die Quadratur des Kreises [18]
Es ist ein Quadrat zu konstruieren, das den gleichen Flächeninhalt
wie ein gegebener Kreis besitzt. Eng damit verbunden ist das Problem der
Rektifikation
der Kreislinie [1]: Es ist eine Gerade zu konstruieren, die die Länge
der Kreislinie eines gegebenen Kreises besitzt. Mit anderen Worten: Ausgehend
von einer natürlichen Zahl ist 
bzw. 
zu konstruieren.
Alle drei Probleme sind im vorgenannten Sinne unlösbar ([12], Wantzel
1837, Lindemann 1882). Es existieren jedoch in jedem Falle Näherungslösungen,
die von unterschiedlichsten Ansätzen ausgehen und von denen eine Reihe
auch für die Algorithmenkonstruktion von großem Interesse ist.
Im folgenden sollen Automatendarstellungen der arithmetischen Formulierung
solcher Näherungslösungen betrachtet werden, die zugleich auch
einen Aspekt der nahen Verwandschaft dieser drei Probleme aufzeigen. Wie
in [21] dargestellt, sind diese Automaten aus Verzögerungselementen
(D1) und Mittelwertbildnern aufgebaut.
41.2 Deterministischer abstrakter
Automat
Der Begriff ,,deterministischer Automat`` (dA) ist entstanden als
abstraktes Modell realer diskontinuierlich (zeitdiskret, getaktet) und
determiniert arbeitender informationeller Systeme mit Eingabe-, Ausgabe-,
Verknüpfungs- und Speicherelementen als Träger informationeller
Prozesse.
Der dA ist zugleich aber auch ein Notierungssystem mit integrativem,
konstruktivem und heuristischem Charakter für eine beträchtliche
Anzahl von Algorithmen.
Die Einbettung von Algorithmen in das mathematische Modell dA ist ein
nützliches Werkzeug für systematische Erweiterungen, Verallgemeinerungen,
Kombinationen, ... von Algorithmen unter Einvernahme des theoretischen
und ingenieurmäßig-pragmatischen Methodeninventars für
die Analyse und Synthese von Automaten (Schaltbilddenken, Einfügen
zusätzlicher Rückkopplungen, Zusammenschaltungen, Zustandskopplungen;
vgl. [29], Abschn. 4 und [21], Abschn. 2.2). Vielfach ergibt sich dabei
zwanglos die Hinzunahme eines zunächst nicht vorhandenen Schalt- (x
{0, 1})bzw. Steuereingangs (x
)
(Analogie: Diode 
Transistor).
Ein dA wird durch nachstehendes Blockschema Bild 1 symbolisiert.
Bild 1: Blockschaltbild des dA 
Hierbei ist 0cm
x X |
- |
Eingangsvariable
Eingangsmenge/Eingangsalphabet |
(1) |
| yY |
- |
Ausgangsvariable
Ausgangsmenge/Ausgabealphabet |
(2) |
| zZ |
- |
Zustandsvariable
Zustandsmenge/internes Alphabet |
(3) |
tT
=  0 |
- |
Taktzeitpunkt
{0, 1, 2,...} |
(4) |
R : X x Z Y |
- |
(eindeutige) Ergebnisabbildung, |
(5) |
| |
|
Elementnotation y = r (x,
z) |
|
| S : X x ZZ |
- |
(eindeutige) Folgezustandsabbildung, |
(6) |
| |
|
Elementnotation z' = s
(x, z) |
|
| z(0) Z |
- |
Anfangszustand. |
(7) |
beschreibt die sequentielle, äquidistant getaktete und deterministische
Umformung einer Eingangsfolge (eines Eingabewortes)
| wx(t) = x(0), x(1),...,
x(t) X* |
(8) |
in eine Ausgangsfolge (ein Ausgabewort)
| wy(t) = y(0), y(1),...,
y(t) Y*. |
(9) |
Dabei wird in jedem Taktzeitpunkt 
0
(fester aber beliebiger Zeitwert) aus dem einlaufenden Eingangswert x() Xund
dem im Zeitintervall (
- 1,]
,,im dA gespeicherten`` Zustandswert z() Z
- der Ausgangswert y()
= r (x(),
z())
gebildet und unmittelbar ausgegeben,
- der neue Zustandswert z(
+ 1) = s (x(),
z())
gebildet und der alte Zustandswert
z()
mit z(
+ 1) ,,überschrieben``. z(
+ 1) bleibt danach im Intervall (,
+ 1] im
dA gespeichert, Bild 2.
Bild 2: Arbeitsregime des dA
Beispiel:
Verzögerungselement erster Ordnung (D1), Bild 3
Bild 3: Verzögerungselement erster Ordnung
| X |
= |
Y = Z |
(10) |
| y |
= |
r (x, z) = z |
(11) |
| z' |
= |
s (x, z) = x |
(12) |
Jeder Eingangswert x()
erscheint um einen Takt verzögert als y(
+ 1)am Ausgang, er wird als Zustandswert z()
für einen Takt in D1 gespeichert, x()
und y()
sind dabei vollständig entkoppelt.
41.3 Mittelwerte
| Bezeichnung |
Definition |
Mittelwertbildendes
Verknüpfungselement |
| Arithmetisches Mittel |
a(x, y) = 
(x + y)
x, y+ |
 |
| Geometrisches Mittel |
g(x, y) = 
x, y+ |
 |
| Harmonisches Mittel |
h(x, y) = 
x, y+ |
 |
| Relativistisches Mittel |
r(x, y) = 
x, y+ |
 |
Tabelle 1: Mittelwerte
Zwischen den in Tabelle 1 zusammengestellten Mittelwerten (vgl. auch
[1,19,20]) bestehen folgende Zusammenhänge:
a(x, y) . h(x,
y)
=  g(x,
y) |
(13) |
 | (A1) |
h(x, y) = 
=  a(x-1,
y-1) |
(14) |
| r(x, y) |
= |
=  a  a(x,
y) ,a(x-1,
y-1)  |
(15) |
| |
= |
r(x-1, y-1)
=  r(x-1,
y)
=  r(x,
y-1) |
|
Bild 4 zeigt die geometrische Veranschaulichung von a(x,
y),
g(x, y)und h(x, y) gemäß
Gl. (13).
Bild 4: Simultane geometrische Veranschaulichung von a(x,
y)
g(x,
y)h(x,
y)
für x < y nach Pappos von Alexandria (ca. 320
n. Chr.) [1]
41.4 Näherungsweise Berechnung
von ,
und von
in Automatendarstellung
41.4.1 dA DUC
Bild 5:
Realisierungsautomat DUC (duplication of the cube)
| DUC |
= |
(X, Y, Z, R, S,
z(0))
mit |
(16) |
| |
|
X = Y = Z =  + |
(17) |
| |
|
z1(t + 1) = g(z1(t),
z2(t)) |
(18) |
| |
|
z2(t + 1) = g(g(z1(t),
z2(t)),
z2(t)) |
(19) |
| |
|
y(t) = z2(t) |
(20) |
| |
|
z(0) = (z1(0), z2(0))
= (2, 1) . |
(21) |
Das Lösen der Differenzengleichungen [22-27] (18) und (19) mit
den Anfangswerten Gl. (21) liefert geschlossene Ausdrücke für
z1(t)und
z2(t) = y(t):
z1(t) = 2 (1
+ 2 . 4-t) |
(22) |
| z2(t) = y(t) = 2(1
- 4-t) . |
(23) |
Aus Gl. (23) folgt sofort
 y(t)
= 
. |
(24) |
Werteverlauf von DUC:
| t |
z1(t) |
z2(t) |
dz1(t) |
dz2(t) |
 |
| 0 |
2 |
1 |
4.99077 |
3.59363 |
3.09601 |
| 1 |
1.4142135623730950488 |
1.1892071150027210667 |
4.22382 |
3.89343 |
2.2293 |
| 2 |
1.2968395546510096659 |
1.2418578120734840486 |
4.05459 |
3.97303 |
2.05492 |
| 3 |
1.2690509571917332226 |
1.2553807570246910896 |
4.01357 |
3.99324 |
2.01359 |
| 4 |
1.2621973503942507080 |
1.2587844395497164431 |
4.00339 |
3.99831 |
2.00339 |
| 5 |
1.2604897398698507233 |
1.2596368011296898879 |
4.00085 |
3.99958 |
2.00085 |
| 6 |
1.2600631983303272772 |
1.2598499816907009217 |
4.00021 |
3.99989 |
2.00021 |
| 7 |
1.2599565855003055876 |
1.2599032824679988288 |
4.00005 |
3.99997 |
2.00005 |
| 8 |
1.2599299337022701391 |
1.2599166080146647120 |
|
|
|
| 9 |
1.2599232708408498894 |
1.2599199394233529283 |
|
|
|
| 10 |
1.2599216051310003143 |
1.2599207722769013478 |
|
|
|
| 11 |
1.2599211887038820127 |
1.2599209804903744757 |
|
|
|
| 12 |
1.2599210845971239430 |
1.2599210325437481341 |
|
|
|
| 13 |
1.2599210585704357697 |
1.2599210455570918847 |
|
|
|
| 14 |
1.2599210520637638104 |
1.2599210488104278433 |
|
|
|
| 15 |
1.2599210504370958258 |
1.2599210496237618343 |
|
|
|
| 16 |
1.2599210500304288300 |
1.2599210498270953322 |
|
|
|
| 17 |
1.2599210499287620811 |
1.2599210498779287066 |
|
|
|
| 18 |
1.2599210499033453938 |
1.2599210498906370502 |
|
|
|
| 19 |
1.2599210498969912220 |
1.2599210498938141361 |
|
|
|
| 20 |
1.2599210498954026791 |
1.2599210498946084076 |
|
|
|
41.4.2
dA TRI
Bild 6:
Realisierungsautomat TRI (Trisection of an angle)
| TRI |
= |
(X, Y, Z, R, S,
z(0))
mit |
(25) |
| |
|
X = Y = Z = + |
(26) |
| |
|
z1(t + 1) = a(z1(t),
z2(t)) |
(27) |
| |
|
z2(t + 1) = a(a(z1(t),
z2(t)),
z2(t)) |
(28) |
| |
|
y(t) = z2(t) |
(29) |
| |
|
z(0) = (z1(0), z2(0))
= (1, 0) . |
(30) |
Auch hier lassen sich für die Differenzengleichungen (27) und (28)
mit den Anfangswerten Gl. (30) geschlossene Lösungen angeben:
z1(t) = 
(1 + 2 . 4-t) |
(31) |
| z2(t) = y(t) =
(1 - 4-t) . |
(32) |
Aus Gl. (32) erhält man
| y(t)
=
. |
(33) |
Werteverlauf von TRI:
| t |
z1(t) |
z2(t) |
dz1(t) |
dz2(t) |
|
| 0 |
1 |
0 |
4 |
4 |
2 |
| 1 |
0.5 |
0.25 |
4 |
4 |
2 |
| 2 |
0.375 |
0.3125 |
4 |
4 |
2 |
| 3 |
0.34375 |
0.328125 |
4 |
4 |
2 |
| 4 |
0.3359375 |
0.33203125 |
4 |
4 |
2 |
| 5 |
0.333984375 |
0.3330078125 |
4 |
4 |
2 |
| 6 |
0.33349609375 |
0.333251953125 |
4 |
4 |
2 |
| 7 |
0.3333740234375 |
0.33331298828125 |
4 |
4 |
2 |
| 8 |
0.333343505859375 |
0.3333282470703125 |
|
|
|
| 9 |
0.33333587646484375 |
0.333332061767578125 |
|
|
|
| 10 |
0.3333339691162109375 |
0.3333330154418945313 |
|
|
|
| 11 |
0.3333334922790527344 |
0.3333332538604736328 |
|
|
|
| 12 |
0.3333333730697631836 |
0.3333333134651184082 |
|
|
|
| 13 |
0.3333333432674407959 |
0.3333333283662796021 |
|
|
|
| 14 |
0.3333333358168601990 |
0.3333333320915699005 |
|
|
|
| 15 |
0.3333333339542150497 |
0.3333333330228924751 |
|
|
|
| 16 |
0.3333333334885537624 |
0.3333333332557231188 |
|
|
|
| 17 |
0.3333333333721384406 |
0.3333333333139307797 |
|
|
|
| 18 |
0.3333333333430346102 |
0.3333333333284826949 |
|
|
|
| 19 |
0.3333333333357586525 |
0.3333333333321206737 |
|
|
|
| 20 |
0.3333333333339396631 |
0.3333333333330301684 |
|
|
|
41.4.3
dA REC
Bild 7:
Realisierungsautomat REC (rectification of the circle)
| REC |
= |
(X, Y, Z, R, S,
z(0))
mit |
(34) |
| |
|
X = Y = Z = + |
(35) |
| |
|
z1(t + 1) = g(z1(t),
z2(t)) |
(36) |
| |
|
z2(t + 1) = h(g(z1(t),
z2(t)),
z2(t)) |
(37) |
| |
|
y(t) = z2(t) |
(38) |
| |
|
z(0) = (z1(0), z2(0))
= (2, 4) . |
(39) |
Das Lösen der Differenzengleichungen (36) und (37) mit den Anfangswerten
Gl. (39) liefert schließlich
z1(t) =  |
(40) |
z2(t) = y(t) = 
= 
. |
(41) |
Aus Gl. (41) erhält man mit
den Grenzwert
y(t)
= 
. |
(43) |
Werteverlauf von REC:
| t |
z1(t) |
z2(t) |
dz1(t) |
dz2(t) |
|
| 0 |
2 |
4 |
3.55487 |
5.23445 |
1.20711 |
| 1 |
2.8284271247461900976 |
3.313708498984760390 |
3.88545 |
4.24678 |
1.77743 |
| 2 |
3.0614674589207181738 |
3.182597878074528111 |
3.97115 |
4.05875 |
1.94273 |
| 3 |
3.1214451522580522856 |
3.1517249074292560985 |
3.99278 |
4.01451 |
1.98558 |
| 4 |
3.1365484905459392638 |
3.1441183852459042627 |
3.99819 |
4.00362 |
1.99639 |
| 5 |
3.1403311569547529123 |
3.1422236299424568454 |
3.99955 |
4.0009 |
1.9991 |
| 6 |
3.1412772509327728681 |
3.1417503691689664591 |
3.99989 |
4.00023 |
1.99977 |
| 7 |
3.1415138011443010763 |
3.1416320807031818057 |
3.99997 |
4.00006 |
1.99994 |
| 8 |
3.1415729403670913841 |
3.1416025102568089468 |
|
|
|
| 9 |
3.1415877252771597006 |
3.1415951177495890504 |
|
|
|
| 10 |
3.1415914215111999740 |
3.1415932696293073108 |
|
|
|
| 11 |
3.1415923455701177423 |
3.1415928075996445765 |
|
|
|
| 12 |
3.1415925765848726657 |
3.1415926920922543742 |
|
|
|
| 13 |
3.1415926343385629891 |
3.1415926632154084162 |
|
|
|
| 14 |
3.1415926487769856695 |
3.1415926559961970263 |
|
|
|
| 15 |
3.1415926523865913458 |
3.1415926541913941850 |
|
|
|
| 16 |
3.1415926532889927653 |
3.1415926537401934751 |
|
|
|
| 17 |
3.1415926535145931202 |
3.1415926536273932976 |
|
|
|
| 18 |
3.1415926535709932089 |
3.1415926535991932533 |
|
|
|
| 19 |
3.1415926535850932311 |
3.1415926535921432422 |
|
|
|
| 20 |
3.1415926535886182366 |
3.1415926535921432422 |
|
|
|
41.4.4 Diskussion
Die Werteverläufe der dA DUC, TRI und REC zeigen eine Reihe bemerkenswerter
Gemeinsamkeiten:
41.4.5 Konvergenzbeschleunigung
Aufgrund der identischen Ausgleichsdynamik kann in allen drei Fällen
auch durch eine gleiche lineare äußere Beschaltung der dA gemäß
[21], Bild 28 eine wesentliche Konvergenzbeschleunigung erreicht werden.
Bild 9: Äußere Beschaltung (,,über Kreuz``) des Basis-dA
zur Konvergenzbeschleuni-
gung nach [21], Bild 28
Die nachstehenden Werteverläufe demonstrieren die Wirksamkeit der
äußeren Beschaltung gemäß Bild 9.
| t |
y(t) |
ykorr.(t) |
| 0 |
1 |
1.25960099284570210923971152545089774547755 |
| 1 |
1.1892071150027210667 |
1.25991677929753571172669013819110284499029 |
| 2 |
1.2418578120734840486 |
1.25992098580133041476200216176500897626042 |
| 3 |
1.2553807570246910896 |
1.25992104890350715788894439729917615024936 |
| 4 |
1.2587844395497164431 |
1.25992104987942231985048514189721046621316 |
| 5 |
1.2596368011296898879 |
1.25992104989463189844991432305731840212702 |
| 6 |
1.2598499816907009217 |
1.25992104989486939557900744499044640444467 |
| 7 |
1.2599032824679988288 |
1.25992104989487310587598071535860455501126 |
| 8 |
1.2599166080146647120 |
1.25992104989487316384704426419846056440713 |
| 9 |
1.2599199394233529283 |
1.25992104989487316475283304380799470274844 |
| 10 |
1.2599207722769013478 |
1.25992104989487316476698595798822605331727 |
| 11 |
1.2599209804903744757 |
1.25992104989487316476720709713361589304767 |
| 12 |
1.2599210325437481341 |
1.25992104989487316476721055243222090525089 |
| 13 |
1.2599210455570918847 |
1.25992104989487316476721060642125949253530 |
| 14 |
1.2599210488104278433 |
1.25992104989487316476721060726483821219587 |
| 15 |
1.2599210496237618343 |
1.25992104989487316476721060726483821219587 |
| 16 |
1.2599210498270953322 |
1.25992104989487316476721060727822508149350 |
| 17 |
1.2599210498779287066 |
1.25992104989487316476721060727822508149350 |
| 18 |
1.2599210498906370502 |
1.25992104989487316476721060727822834977214 |
| 19 |
1.2599210498938141361 |
1.25992104989487316476721060727822835055778 |
| 20 |
1.2599210498946084076 |
1.25992104989487316476721060727822835057006 |
| t |
y(t) |
ykorr.(t) |
| 0 |
0 |
|
| 1 |
0.25 |
|
| 2 |
0.3125 |
|
| 3 |
0.328125 |
|
| 4 |
0.33203125 |
|
| 5 |
0.3330078125 |
|
| 6 |
0.333251953125 |
|
| 7 |
0.33331298828125 |
|
| 8 |
0.3333282470703125 |
|
| 9 |
0.333332061767578125 |
|
| 10 |
0.3333330154418945313 |
|
| 11 |
0.3333332538604736328 |
|
| 12 |
0.3333333134651184082 |
|
| t |
y(t) |
ykorr.(t) |
| 0 |
4 |
3.13985568807669720121969672383095659173479 |
| 1 |
3.313708498984760390 |
3.14157260707557065425667697142646041273994 |
| 2 |
3.182597878074528111 |
3.14159236130656127389360854079031453547451 |
| 3 |
3.1517249074292560985 |
3.14159264909972000325017892036350225196712 |
| 4 |
3.1441183852459042627 |
3.14159265351993150800298589880054404588584 |
| 5 |
3.1422236299424568454 |
3.14159265358870279949630259754296605013986 |
| 6 |
3.1417503691689664591 |
3.14159265358977620484397066525446711443817 |
| 7 |
3.1416320807031818057 |
3.14159265358979297232988723113107079119470 |
| 8 |
3.1416025102568089468 |
3.14159265358979323430438756283086419180502 |
| 9 |
3.1415951177495890504 |
3.14159265358979323839767090363740571380212 |
| 10 |
3.141593269629307310 |
3.14159265358979323846162818933021787183997 |
| 11 |
3.1415928075996445765 |
3.14159265358979323846262752087812781287824 |
| 12 |
3.1415926920922543742 |
3.14159265358979323846264313542949734599710 |
| 13 |
3.1415926632154084162 |
3.14159265358979323846264337940684660995689 |
| 14 |
3.1415926559961970263 |
3.14159265358979323846264338321899263015550 |
| 15 |
3.1415926541913941850 |
3.14159265358979323846264338327855741147872 |
| 16 |
3.1415926537401934751 |
3.14159265358979323846264338327948811118595 |
| 17 |
3.1415926536273932976 |
3.14159265358979323846264338327950265336887 |
| 18 |
3.1415926535991932533 |
3.14159265358979323846264338327950265336887 |
| 19 |
3.1415926535921432422 |
3.14159265358979323846264338327950288414081 |
| 20 |
3.1415926535903807394 |
3.14159265358979323846264338327950288419629 |
Aufgabe 41.4.1
-
Verifizieren Sie die Gln. (22), (23), (31), (32), (40) und (41) durch Lösen
der zugehörigen Differenzengleichungen [22-27].
-
Zeigen Sie, daß aus den genannten Gleichungen die experimentell gefundenen
Grenzwerte der Differenzenquotienten Gl. (44) und (45) folgen.
|
Aufgabe 41.4.2
Diskutieren Sie die Beziehungen zwischen den Ausgangsgrößen
y(t)
von DUC, TRI und REC.
Hinweis:
 |
(46) |
|
Aufgabe 41.4.3
Zeigen Sie experimentell, daß bei äußerer Beschaltung
der Basisautomaten gemäß Bild 9 für die dort angegebenen
Gewichte (p1 und p2) der Verknüpfungselemente
die so maximal mögliche Konvergenzbeschleunigung erreicht wird. Untersuchen
Sie die Natur dieses Maximums (scharf, flach, ...), ev. mittels einer 3D-Darstellung. |
41.5 Ausloten des mathematischen Modells
dA vom Ausgleichstyp gemäß Bild 8
Die Ergebnisse von Abschn. 41.4 legen es nahe, das mathematische Modell
dA vom Ausgleichstyp (Bild 8) von seiner ursprünglichen Problemumgebung
und Genesis (Modellierung von Näherungslösungen der Triade duc,
tri und rec) abzukoppeln und davon getrennt weiter auszuloten.
Tabelle 2 summiert einige so erhaltene Ergebnisse (vgl. [21]).
| m1 |
m2 |
z1(0) |
z2(0) |
 y(t) |
| a |
a |
u |
v |
 (u
+ 3v) |
| |
|
1 |
0 |
(TRI) |
| g |
g |
u |
v |
 |
| |
|
2 |
1 |
(DUC) |
| g |
h |
u |
v |
arcosh(2
- 1) |
| |
|
2 |
4 |
(REC) |
| |
|
 |
 |
ln w |
| |
|
 |
 |
ln 2 |
| |
|
 |
 |
ln 10 |
| a |
g |
u |
v |
 |
| |
|
0 |
1 |
 |
| a |
h |
u |
v |
v  |
| |
|
0 |
1 |
= 0.60914971106... |
Tabelle 2: Leistungsfähigkeit des dA gemäß Bild 8 als
Funktionengenerator
Aufgabe 41.5.1
Setzen Sie Tabelle 2 fort (vgl. [21]).
Beziehen Sie dabei das relativistische Mittel ein. |
Lösungshinweise Aufgabe 41.5.1
-
Fortsetzung von Tabelle 2:
| m1 |
m2 |
z1(0) |
z2(0) |
y(t) |
|
| r |
r |
u  + |
v+ |
1 |
schnelle Konvergenz |
| a |
r |
|
|
1 |
|
| r |
a |
|
|
1 |
|
-
Es liegt nahe, den in vorstehender Tabelle dargestellten starken Kontraktionseffekt
der durch r erzwungenen guten Konvergenz wegen als ,,Motor`` für
einen zweiten algorithmischen Prozeß (,,Last``) zu benutzen (vgl.
DACModul 19). Der dA Bild 8 wird dabei zu einem einstelligen Inverter (Gleichungslöser)
erweitert,
-
der bei konstanter Eingabe des Funktionswertes x +
-
nach einem kontraktiven Einschwingvorgang
-
mit erforderlicher Genauigkeit einen zugehörigen Argumentwert (eine
zugehörige Lösung)
y = inv f (x)   + |
(48) |
ausgibt.
Diese Inversion, d.h. die näherungsweise Bestimmung eines Argumentwertes
der Lastfunktion x = f (y) bei gegebenem Funktionswert
x
= b
-
erfolgt nichtinvasiv (also nicht durch formales Auflösen der Gleichung
x
= f (y) nach y) und
-
geschieht durch aufeinanderfolgende Berechnung von Funktionswerten der
Lastfunktion f (y) so, daß deren Folge gegen das gegebene
b
und deren Argumentfolge gegen das gesuchte inv f (b) konvergiert.
Bild 10 zeigt einen möglichen Realisierungsautomaten
 |
= |
(X, Y, Z, R, S,
z(0))
mit |
(49) |
| |
|
X = Y = Z = + |
(50) |
| |
|
z1(t + 1) = z1(t)
. a  ,
z2(t) |
(51) |
| |
|
z2(t + 1) = r r a,
z2(t),
z2(t) ,
a,
z2(t) |
(52) |
| |
|
y(t) = z1(t)
. |
(53) |
Bild 10: Erweiterung des dA Bild 8 zu einstelligem Inverter:
x(t) 
b
y(
)
= inv f (b)
Werteverlauf von 
für x = 5 und f (z) = z2
y()
= inv f (x) = 
.
| t |
z1(t) = y(t) |
z2(t) |
| 0 |
2.5 |
0.9 |
| 1 |
2.125 |
0.9993082244427363 |
| 2 |
2.238235576705702 |
0.9999995339163977 |
| 3 |
2.236068505493362 |
0.9999999999998906 |
| 4 |
2.23606797749973 |
0.9999999999999998 |
| 5 |
2.236067977499789 |
1. |
Experimentieren Sie mit dem dA Bild 10 (
Ausloten der Leistungsfähigkeit für verschiedene x, f
(z), z1(0) und z2(0)). Verbessern
Sie durch schaltungstechnische Maßnahmen seine Stabilität und
Konvergenzgeschwindigkeit (vgl. DACModul 19).
Aufgabe 41.5.2
Untersuchen Sie, inwieweit sich ,, Seiteneffekte``der in Tabelle 2 aufgeführten
dA (z.B. der Verlauf von  , 
usw.) zur Funktionswertberechnung benutzen lassen.
Hinweise:
-
Der dA REC erzeugt mit
spezielle Funktionswerte der Cosinusfunktion.
-
Der dA Tabelle 2, Zeile 12 erzeugt mit
=  |
(55) |
=  |
(56) |
die Gewichte des in DACModul 39 beschriebenen Korrekturnetzwerkes Bild
2 zur linearen Konvergenzverbesserung.
|
Aufgabe 41.5.3
Läßt sich die im Bild 9 dargestellte äußere Beschaltung
für alle in Tabelle 2 aufgeführten dA zur optimalen Konvergenzverbesserung
benutzen? |
Aufgabe 41.5.4
Konstruieren Sie einen dA gemäß Bild 8, der die Berechnung von
e
bzw. ex realisiert. |
Aufgabe 41.5.5
Der Einbau eines erweiterten (kettenförmigen) Kommunikationsnetzwerkes
in den dA Bild 8 führt zu weiteren interessanten Automaten vom Ausgleichstyp.
Auf diese Weise läßt sich der Kreis so berechenbarer mathematischer
Konstanten bzw. Funktionswerte wesentlich erweitern (vgl. [21]): Tabelle
3. |
| Für die dA |
ist |
 |
z1(t) =   1
+ 6 . 8-t
z2(t) = y =  1
- 8-t
y(t)
= |
 |
= 
=
 
= cos   
y(t)
= 
= |
 |
=
=
 
= ?
y(t)
=
= 0.849342817583...= ? |
 |
=
=
 
= ?
y(t)
= =
0.931379553984...= ? |
 |
= ?
= ?
y(t)
=
= 0.664761813649...= ? |
Tabelle 3: Erweiterungsformen des dA Bild 8
41.6 Die Antithese: dA vom Trennungstyp
Das in Abschn. 41.4.4 eingeführte Modell
,,dA vom Ausgleichstyp`` (Bild 8) fordert als Antithese einen ,,dA vom
Trennungstyp``, dessen Dynamik als getaktet ablaufender Trennungsvorgang
der Füllstände z1(t) und z2(t)
zweier Gefäße D1 interpretierbar ist,
-
die über ,,Trennungselemente`` kommunizierend miteinander verbunden
sind
-
und der zum Stillstand kommt, wenn ein Füllstand einen bestimmten
Wert, vorzugsweise den Wert Null, erreicht.
Bild 11 zeigt als Beispiel für einen solchen dA vom Trennungstyp den
Realisierungsautomaten des Euklidischen Algorithmus.
Bild 11: ggT (a, b)
Realisierungsautomat EUC (Euclidean Algorithm)
| EUC |
= |
(X, Y, Z, R, S,
z(0))
mit |
(57) |
| |
|
X = Y = Z = 0 |
(58) |
| |
|
z1(t + 1) = rest (z1(t),
z2(t)) |
(59) |
| |
|
z2(t + 1) = rest (z2(t),
rest (z1(t), z2(t))) |
(60) |
| |
|
y1(t) = z1(t) |
(61) |
| |
|
y2(t) = z2(t) |
(62) |
| |
|
z(0) = (z1(0), z2(0))
= (a, b) . |
(63) |
Werteverlauf von EUC für a = 1272, b = 684:
| t |
z1(t) |
z2(t) |
| 0 |
(a =) 1272 |
(b =) 684 |
| 1 |
588 |
96 |
| 2 |
12 (= ggT (a, b) ) |
0 (Haltbedingung) |
EUC berechnet den größten gemeinsamen Teiler ggT (a,
b)
zweier natürlicher Zahlen a und b:
ggT (a, b) =  pimin(ai,
bi) |
(66) |
ohne vorheriger Berechnung der (für große a und b
numerisch sehr aufwendigen) Primfaktorzerlegung.
Das Lösen der Differenzengleichungen (52) und (53) mit den Anfangswerten
Gl. (56) ergibt (vgl. [30]):
| Wenn z1(t) = 0, dann ggT (a,
b)
: = y2(t - 1). |
(67) |
| Wenn z2(t) = 0, dann ggT (a,
b)
: = y1(t). |
(68) |
EUC generiert als Seiteneffekt die Kettenbruchzerlegung von 
:
 |
= |
div (z1(0), z2(0))
+ 
+  |
|
| |
|
+ 
+ ... . |
(69) |
Aufgabe 41.6.1
Verifizieren Sie die Gln. (60), (61) und (62) durch Lösen der Differenzengleichungen
(52) und (53). |
Aufgabe 41.6.2
Konstruieren Sie in Analogie zu (Bild 8
Bild 9) für den dA EUC eine äußere Beschaltung zur optimalen
Konvergenzbeschleunigung. |
Aufgabe 41.6.3
Konstruieren Sie weitere dA vom Trennungstyp. Benutzen Sie hierzu [26,30]. |
41.7 Ausblick
-
Untersuchung von ,,dA vom Ausgleichstyp`` und ,,dA vom Trennungstyp`` mit
variabler Eingangsgröße x(t).
-
Synthese ,,dA vom Ausgleichstyp`` & ,,dA vom Trennungstyp``.
-
,,DA vom Ausgleichstyp`` und ,,dA vom Trennungstyp``
-
könnten auf nanotechnologischer Basis hergestellt werden
-
und in nanotechnischen Konstruktionen [31-39] als unmittelbar mit einem
Aktor (Motor) gekoppelte Steuerrechner bzw. als deren Bestandteile (
Funktionswertgenerator) Einsatz finden.
Literatur
| Aufgaben und Lösungen
Die
Module
cos
. x
= 
[28]
z2(0) 
)
= z2(
= 4 ; i = 1, 2,...
= 2 .
mi
= r
y(t)
= 1
;
ai
= cos
. 
